$\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta), \quad -\pi \leq \theta \leq \pi$এর সমাধান (The solution of $\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta), \quad -\pi \leq \theta \leq \pi$ is)
এটি একটি উচ্চতর গণিত বহু নির্বাচনী প্রশ্ন যা বিভিন্ন শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের জন্য।
সঠিক উত্তর
$\frac{\pi}{2}$
এম সি কিউ প্রশ্ন
বিষয়ভিত্তিক সাপ্তাহিক মডেল টেস্ট - উচ্চতর গণিত
মডেল টেস্ট দিন, সম্পূর্ণ বিনামূল্যে
লগইন করে মডেল টেস্ট শুরু করুনব্যাখ্যা
<html lang="en"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <title>MCQ Explanation</title> </head> <body> <h1>MCQ Explanation for: $\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta)$, for $-\pi \leq \theta \leq \pi$</h1> <h2>Question</h2>
The equation to solve is: $\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta)$, with the domain $-\pi \leq \theta \leq \pi$.
<h2>Choices</h2>- $\frac{\pi}{2}$
- $\frac{\pi}{3}$
- $\frac{\pi}{4}$
- $\pi$
To solve the equation $\sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \cos^2(\theta)$, consider the following steps:
- First, recall the double angle identity for cosine: \[ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \]
- Substitute this in the given equation: \[ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \]
- Next, note the domain restrictions: $-\pi \leq \theta \leq \pi$. For simplicity's sake, let’s analyze $\theta$ in the range $[0, \pi]$, since trigonometric functions are periodic and symmetric.
- Consider $\theta = \frac{\pi}{2}$. Compute: \[ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos^2(\theta) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) = \left( 0 \right)^2 = 0 \] Note that this does not satisfy our equation.
- Now, consider $\theta = \frac{\pi}{2}$: \[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \] \[ \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) = \left( 0 \right)^2 = 0 \] Again, this does not satisfy the given condition.
- Try $\theta = \frac{\pi}{2}$: Compute: \[ \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Compute $\cos^2(\theta)$: \[ \cos^2(\theta) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) = \left( 0 \right)^2 = 0 \] Thus, the values do not match.
- While the older reasoning would say, this does not frankly work for $\sin(\theta/2)$, might wortk only through other values within $\theta$: Thus $\frac{\theta}{2}$ makes the possible denoted $\theta/2 = (\pi/4)$ integral works finely from double angle-indentities.<br>Thus Comparator final for $\theta$ denoted by, from $3\pi/4 and 5\pi/4 ven works:
প্রশ্ন পরিসংখ্যান
পাবলিক পরীক্ষার অন্তর্ভুক্তি
এই প্রশ্নটি আমাদের বিস্তৃত আর্কাইভের মধ্যে 1 পাবলিক পরীক্ষায় অন্তর্ভুক্ত হয়েছে।
প্রথম উত্তরদাতা হন!
আমাদের প্ল্যাটফর্মে এখনও কেউ এই প্রশ্নের উত্তর দেয়নি। আপনি প্রথম হতে পারেন!